jimlucky的部落格

問：您在空間與幾何上的研究，對基礎物理有非常重要的影響，現在當紅的弦論，就是以您提出的卡拉比–丘流形為基礎，而您也以數學家的身份跨入了弦論研究。能否請您談談您的幾何研究與弦論結合的過程，以及這方面的最新進展？

答：我們數學家是從幾何的方法來研究空間的內容。因為物理學家通常不太了解數學上的幾何問題，他們要問我們；可是我們也從物理上得出很多想法，例如弦論裡面的T對偶和鏡對稱等，就還有很多問題沒解決，而數學家可以從幾何的觀點來了解這些問題。

我在八年前，和斯楚明格（Andrew Strominger）、薩斯勞（Eric Zaslow）等幾個朋友提出了一個關於卡拉比–丘流形的具體幾何描述，以及構造鏡流形的猜想（即斯楚明格–丘–薩斯勞猜想）。經過這些年的發展，這個想法基本上是對的，雖然還沒有證明出來，但是從這個想法得出來的很多結果，例如在拓撲上的推論是可以證明的，所以我和同事、學生都還在繼續考慮這些問題。

這種跨領域的合作很好。有些看法，例如T對偶，如果單純從數學的角度來想，大概不會想到有這種東西，但卻可從物理的觀點來找到。這引起了很多幾何上的有趣問題，帶出來的問題不只是一兩個，而是一連串的問題。

我們只是從一個角度來看對稱的問題，可是整個卡拉比–丘空間還有很多其他的問題，在數學上都很有趣。有些是在數論方面的問題，這些都是很自然的問題，它推廣了從前數論學家一路在用的橢圓曲線空間。過去幾百年來，數論學家主要的工具就是橢圓曲線。橢圓曲線在數論裡有過很重要的貢獻，可以解決很多重要問題，像是費馬問題，就是用橢圓曲線來解決的。

在卡拉比–丘空間裡，我們也可以同樣問數論方面的問題。很多數學家對這個問題有興趣，我們希望對於這方面的工作，能夠有些進展與貢獻，這比較困難，可是也很有挑戰性。

與物理學家激出的弦論靈感

問：您是從什麼時候起、在什麼樣的機緣下，開始參與弦論這方面的研究？

答：我想這是因為我一直和物理學家有很密切的來往，我和很多物理學家也都是很好的朋友。

我的朋友維頓（Edward Witten）是個大名鼎鼎的物理學家，他就是在做弦論，對於卡拉比–丘空間很感興趣。1984年，也就是物理學家所說的第一次弦論革命的時候，當時的弦論專家認為卡拉比–丘空間只有兩、三個，他們期望從這兩、三個空間，可以推導出宇宙主要的基本常數，對此寄予厚望。那時我在加州聖地牙哥訪問，維頓就從普林斯頓飛到聖地牙哥來問我這方面的問題，於是我開始對弦論有了興趣。

以後慢慢的，他們問了一些重要的問題，我也解決了一些。其中有個問題是，他們想找一個具有很好拓撲性質的卡拉比–丘空間，這個重要空間的質子數目剛好等於三，也就是有三組的費米子。換成數學的講法，就是這個卡拉比–丘空間的歐拉數是+6或-6。他們很想找這種空間，因為這和弦論可否解釋自然現象有關。結果被我找到了一個這樣子的空間，他們便邀請我去芝加哥的阿崗國家實驗室參加第一次弦論大會，邀我給一個演講。我在演講中討論了卡拉比–丘空間的情形，與會的學者大約有1000人，大家都很興奮。

後來我們發現卡拉比–丘空間很多，但其中歐拉數為+6或-6的卡拉比–丘空間，到現在也才找到一個。我回去以後繼續和學生討論，寫了一些文章，好像又找到了幾個例子，最後卻發現，和我第一次找到的都差不多。

總之從那時候開始，我就對於空間在物理上的意義，有更大的興趣。後來，我的一個博士後研究員格林恩（Brian Greene）發現一件很重要的事情，就是鏡對稱，而且他也從物理的觀點證明了這個對稱的存在性。當他告訴我這個發現時，我很驚訝，從數學的觀點我認為不見得會存在，但是他從物理的觀點覺得應該存在。結果他對了！鏡對稱真的存在。格林恩現在是哥倫比亞大學物理系予數學系教授，在他寫的《優雅的宇宙》（The Elegant Universe）一書中，也寫了這一段故事。從那時起，我就參與這個研究。

這個事情很有意思，假如我不跟物理學家來往的話，我不會去參與這些研究。其實，我有很多博士後研究員都是物理學家。1973年我開始對廣義相對論有興趣的時候，我有一個博士後叫做霍洛維茲（Gary Horowitz），現在他在廣義相對論和弦論這兩個領域也很有名氣。

正質量，穩住廣義相對論

問：廣義相對論裡的「正質量」定理也是您的重要工作之一，您這兩年還持續發表一些相關的論文。能否請您談一談這方面的工作？

答：這是我20多年來一路都在研究的方向。一開始，是和我的學生孫理察（Richard Schoen）一起做的，這個問題在物理上很重要，因為質量假如有負的，引力場會不穩定，整個廣義相對論在理論上會出現問題。

當時研究廣義相對論的物理學家每兩年開一次大會，其中一個專題就是討論這個問題。在1973年微分幾何的一個會議裡，有位物理學家就提出，希望我們幾何學家去考慮。但那時我們沒有辦法解決，沒人曉得怎麼做。

1978年時，我到柏克萊訪問，孫理察那個時候在柏克萊當講師。我跟他本來就很熟，因為他在史丹佛當我的研究生的時候，我們天天在一起花很多時間討論。有一天在柏克萊校園，我們走著走著，就突然想到可以用極小曲面理論來解決這個問題。基本的想法那時候就找到了，以後當然還要花很多時間慢慢把細節完成。我們將第一步做好後，就給了幾個演講，那只是第一部份。當時有一些物理學家很挑剔，寫了文章講為什麼我們還沒有做到全部，但後來，我們在很短時間內也把全部完成了。這是個不容易的工作，後來我在史丹佛，和孫理察用了一整個暑假，才完成那篇證明正質量定理的文章。

剛開始，一些物理學家對我們數學家做的東西不太願意接受，不過後來還是慢慢接受了。以後，我們又推廣這個做法，得到一些黑洞上的研究結果。當時做這個問題時，必須假定整個引力場是一個孤立的系統。但很多物理系統是不能孤立地討論的，我們就問，不是孤立系統時怎麼辦？我一路對這個問題都有很大的興趣。

問：關於正質量的研究，接下來還有什麼進展呢？

答：自從孫理察去了史丹佛，我到哈佛後，我們就比較少見面，所以也比較少合作。不過我對這個問題仍舊很有興趣，想繼續做下去。在四、五年前，我寫了兩篇這方面的文章。我向香港中文大學數學系的譚聯輝提了這個問題，他做了一些成果，所以我就重新再看他做的工作。我和我的學生劉秋菊一同討論，寫了篇關於局部質量的文章。我們還在做第二個工作，結果還不夠完美，還在繼續摸索。

問：您這些後續的研究工作，是否就是要克服引力場孤立的限制？其中基本的困難是什麼？

答：是的，在廣義相對論裡邊，這是一個很重要的問題。我們討論一個非孤立的物體，例如黑洞和黑洞相互作用的時候，它的所謂結合能量（binding energy）等種種問題，都要用到新的觀念。我們從這邊得出一些結果，我覺得這個結果，就算在幾何上來講，也是很有意思的。

這個方向再發展下去應該是沒問題的。問題是，整個古典的廣義相對論裡，還有很多數學上的問題。我們希望整個場論、場方程能夠有解，但要怎麼樣去解它？怎麼樣去控制它？質量、能量都跟這些有關。整個場方程很複雜，必須引進新的量來控制它，才能了解它。我們距離目標還相當遠。很重要的一部份是數學的問題，是幾何和分析的問題，一般人很難涉入。

20世紀最偉大的數學難題

問：數學上著名的龐卡赫猜想，在前一陣子有了重大的突破。聽說前後兩位數學家漢米爾頓（Richard S. Hamilton）與帕瑞爾曼（Grigory Perelman）所提出的證明，都源自於您前瞻性的看法，能不能請您談一談？

答：1979年左右，我在普林斯頓，應邀去康乃爾給演講，在那裡遇到漢米爾頓，他告訴我他在考慮瑞奇流（Ricci flow），跟我講了一大套看法。我說瑞奇流很自然，當然要考慮，可是並不容易做，因為太複雜了。1980年，漢米爾頓跑來找我，說他做到了，至少在瑞奇曲率正的時候如此，這讓我印象深刻。他的方法很雅潔，而且跟我從前做的一些微分方程，有一定的相似，我感覺到這是一個很重要的結果。我說他這個瑞奇流的做法，應該可以拿來做龐卡赫猜想，但困難不少。沒想到他真的去做，他真是個很有創造力的數學家，我很佩服他。

1984年，我搬到聖地牙哥，第一件事就是邀請他到聖地牙哥任教。後來他的辦公室就在我隔壁，我們有相當的時間交談。在1982~83年時，我與李偉光做了些關於熱傳導方程的梯度估計，是一種哈納克不等式（Harnack inequality），我向漢米爾頓講，我跟李偉光的工作對他的這個方程，可能會有很重要的影響，我想把我跟李偉光的工作，放在他那個方程裡去了解、同時推廣。我感覺這樣做，絕對可以對漢米爾頓的方程產生很重要的作用。

我們合作了一陣子，可是不久後我就到哈佛，而他留在聖地牙哥，他還繼續做這個問題。我覺得這個問題很不簡單，雖然當時已經發展出一些新的數學工具，但還是不夠。過了兩年，漢米爾頓又來找我，說他找到我和李偉光做的工作相似的不等式，他將梯度估計推廣到張量場中。我很驚訝，對我來講，這是個很不簡單的推廣。我想過，可是我想不出來，而他看對了整個方法。這是一個很重要的結果，可是離解開整個龐卡赫猜想，還是相當遠，因為還得要分析流形是怎麼變化，這是很困難的問題。